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Thomas-Präzession

Relativitätstheorie und Gravitation, Spinpräzession (Spin) eines beschleunigten Teilchens ohne Gravitationsfeld. Die Spinpräzession beschreibt eine Präzession des Spinvektors in der flachen Raumzeit auf Grund der Einwirkung eines nicht-gravitativen Kraftfeldes Thomas-Präzession, welches jedoch kein Drehmoment ausüben möge. In einem lokal mitbewegten Inertialsystem gibt es daher keine Präzession. Transformiert man jedoch in ein beliebiges Inertialsystem, so erfährt der Spin eine Präzession. Diesen Effekt erhält man wie folgt:

Man betrachtet ein Teilchen mit klassischem Drehimpuls und ordnet diesem einen Spinvektor Thomas-Präzession zu. Im mitbewegten Inertialsystem gilt offensichtlich: Thomas-Präzession. Dabei ist Thomas-Präzession die Vierergeschwindigkeit (Vierervektor) des Teilchens. Da dies eine Lorentz-invariante Beziehung ist, gilt sie automatisch in allen Inertialsystemen. Falls nun Thomas-Präzession kein Drehmoment ausübt, gilt im mitbewegtem Inertialsystem: Thomas-Präzession (dabei ist S der räumliche Teil des Spinvektors). Daraus folgt, dass Thomas-Präzession parallel zu Thomas-Präzession sein muss. Da auch diese Beziehung eine Lorentz-invariante Gleichung ist, muss sie wieder für alle Inertialsysteme gelten. Differenziert man nun die erste Gleichung nach der Eigenzeit und berücksichtigt die Parallelität von Thomas-Präzession und Thomas-Präzession, so ergibt sich folgendes Resultat:

Thomas-Präzession

Die Einheiten wurden dabei so gewählt, dass die Lichtgeschwindigkeit Thomas-Präzession gleich 1 ist. Obige Gleichung beschreibt die Thomas-Präzession. Man sieht, dass die Spinänderung einerseits von der Beschleunigung und damit vom nicht-gravitativen Kraftfeld abhängt (Thomas-Präzession), andererseits aber auch von der Geschwindigkeit.

Falls ein Gravitationsfeld anwesend ist, ergibt sich mittels des Kovarianzprinzips (Kovarianz) folgende Beziehung für die Spinpräzession:

Thomas-Präzession

Sie heisst Fermi-Transport und ist die kovariante Formulierung der obigen Gleichung für die Thomas-Präzession. Dabei ist Thomas-Präzession die kovariante Ableitung. Falls kein nicht-gravitatives Kraftfeld vorhanden ist, reduziert sich der Fermi-Transport zu Thomas-Präzession. Das ist der sog. Paralleltransport.

 

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