A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

 

 

d-Funktion

delta-FunktionMathematische Methoden und Computereinsatzd-Funktion, Diracsche d-Funktion, d-Distribution ein Ausdruck der Form d(x - x0), der eine auf den Punkt x = x0 konzentrierte Verteilung repräsentiert. Mathematisch gesehen handelt es sich bei der d-Funktion um eine Distribution.

"Um ein Bild von d(x) zu bekommen, betrachte man eine Funktion der reellen Variablen x, die überall verschwindet ausser in einem kleinen Bereich, angenommen der Länge e, um den Ursprung x = 0 und die innerhalb des Bereichs so gross ist, dass ihr Integral über diesem Bereich gleich 1 ist. Wie die Funktion innerhalb des Bereiches genau aussieht, ist unwesentlich, vorausgesetzt sie nimmt keine unnötig unsinnigen Formen an (wäre zum Beispiel immer von der Ordnung e - 1). Dann geht diese Funktion für e0 in die Funktion d(x) über." (Aus: P.A.M. Dirac, "The Principles of Quantum Mechanics", 4. Auflage, Oxford 1958, S. 58.)

Der Gebrauch der d-Funktion lässt sich bis auf Kirchhoff 1882 zurückverfolgen, wird jedoch meist mit Dirac in Verbindung gebracht, der sie in die Quantenmechanik einführte. Man stellt sich die d-Funktion zweckmässigerweise als unendlich hohe und unendlich schmale Spitze vor, deren Fläche 1 ist. Die für das praktische Rechnen wichtigste Eigenschaft der d-Funktion ist, dass sie unter einem Integral einer beliebigen "vernünftigen" Funktion deren Funktionswert an einer Stelle zuweist:.

Diese sowie einige weitere Rechenregeln und Formeln sind in Tabelle 1 zusammengestellt.

Mit Hilfe der d-Funktion lässt sich das Teilchenbild in die Feldtheorie übernehmen: Eine Punktladung der Stärke q im Punkt r0 besitzt die Ladungsverteilung r(r) = qd(r - r0). Das Potential einer solchen Punktladung ergibt sich als Lösung der Poisson-Gleichung  zu

.

Eine weitere wichtige Anwendung ist die Beschreibung von instantanen Impulsüberträgen: Eine Kraft, die nur in einem kleinen Zeitraum um t = t0 wirkt und insgesamt einen Impulsübertrag von p verursacht, kann durch F(t) = pd(t - t0) beschrieben werden, wenn zwar der Impulsübertrag, aber nicht der genaue Kraftverlauf physikalisch relevant ist.

In der Statistik ermöglicht die d-Funktion die Vereinheitlichung diskreter und stetiger Zufallsgrössen: Eine Zufallsgrösse, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Werte 0 und 1 annimmt, kann beispielsweise durch die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = 1/2 (d(x - 0) + d(x - 1)) beschrieben werden.

In der Quantenmechanik sind d-Funktionen in der Ortsdarstellung die Eigenfunktionen des Ortsoperators: Führt man an einem Elektron, das durch die Wellenfunktion y beschrieben wird, eine Ortsmessung durch, bei der man das Resultat r0 erhält, dann ist die Wellenfunktion des Elektrons nach der Messung y = d(r - r0). Die Eigenfunktionen des Impulsoperators, die ebenen Wellen, besitzen im Impulsraum ebenfalls die Form von d-Funktionen. Somit sind über den Gebrauch der d-Funktion Wellen- und Teilchenbild in die Quantenmechanik eingebettet.

Ausser diesen unmittelbar physikalischen Bedeutungen spielt die d-Funktion noch bei der Lösung von Differentialgleichungen mit der Methode der Greenschen Funktionen und als Kriterium für die Vollständigkeit von Funktionensystemen eine Rolle.

Die d-Funktion ist zwar ein nützliches Objekt, aber sie ist keine Funktion im Sinne einer eindeutigen Abbildung x  d(x). Für einen strengen mathematischen Zugang zur d-Funktion kann man einen der beiden folgenden Wege beschreiten, von denen der erste mächtiger und der zweite intuitiver ist:

a) Man betrachtet anstelle der d-Funktion d(x - x0) die sogenannte d-Distribution dx0, d.h. das Funktional, das jeder Funktion f(x) ihren Funktionswert an der Stelle x0 zuweist (dx0[f]: f(x)  f(x0)), und identifiziert die Integration über die d-Funktion mit der d-Distribution: . Bei dieser Herangehensweise hat die d-Funktion nur dann eine wohldefinierte Bedeutung, wenn sie unter einem Integral steht.

b) Man fasst die d-Funktion formal als "Grenzfunktion" einer Folge von Funktionen dn auf, die mit zunehmendem n immer schmaler und spitzer werden, wobei ihre Fläche gleich bleibt. Tabelle 2 enthält einige Funktionenfolgen, die hierfür verwendet werden können. Bei der Integration über die d-Funktion ist dann derart vorzugehen, dass zuerst (Riemann-)integriert und danach der Grenzwert gebildet wird: . In diesem Fall dürfen Integration und Grenzwertbildung nicht vertauscht werden; die Operationen in anderer Reihenfolge durchzuführen, würde keinen Sinn ergeben, da die Folge der dn nicht im üblichen Sinne konvergiert. [GB1]

d-Funktion 1: Einige Rechenregeln und Formeln im Zusammenhang mit der d-Funktion.

 

d-Funktion 2: Einige Funktionenfolgen, als deren Limes für n   ¥  die d-Funktion angesehen werden kann.

 

<< vorhergehender Begriff
nächster Begriff >>
D-Flipflop
D-Mesonen

 

Diese Seite als Bookmark speichern :

 

Weitere Begriffe : Flamme | White-Zelle | Induktionseffekt

Übersicht | Themen | Unser Projekt | Grosse Persönlichkeiten der Technik | Impressum | Datenschutzbestimmungen