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Poincaré-Gruppe

Relativitätstheorie und Gravitation, inhomogene Lorentz-Gruppe, zehn-parametrige Gruppe, die sowohl die Rotationen (drei Parameter für die drei Drehachsen) und die zeitlichen und räumlichen Translationen (vier Parameter) als auch die Lorentz-Transformationen (drei Parameter für die drei Raumachsen) enthält. Die Poincaré-Gruppe beschreibt alle im Rahmen der relativistischen Mechanik möglichen Transformationen.

Eine allgemeine Poincaré-Transformation lautet also Poincaré-Gruppe, wobei Poincaré-Gruppe ein Element der Lorentz-Gruppe und Poincaré-Gruppe ein Vierervektor in der Minkowski-Raumzeit ist. Zwei hintereinander geschaltete Poincaré-Transformationen sind durch Poincaré-Gruppe definiert, und das Inverse eines Elementes der Poincaré-Gruppe lautet Poincaré-Gruppe.

Die Erzeugenden Poincaré-Gruppe (Lorentz-Generatoren) und Poincaré-Gruppe (Translationsgeneratoren) erfüllen die Vertauschungsrelationen

Poincaré-Gruppe

und

Poincaré-Gruppe

Die Casimir-Operatoren lauten Poincaré-Gruppe und Poincaré-Gruppe mit Poincaré-Gruppe. Es gilt

Poincaré-Gruppe

Die unitären irreduziblen Darstellungen der eigentlichen Poincaré-Gruppe (Poincaré-Gruppe) zerfallen in drei Klassen:

1) Poincaré-Gruppe: die Darstellungen werden durch eine positive Zahl m (Masse) und eine halbzahlige nicht-negative Zahl s (Spin) charakterisiert. Diese Darstellungen beschreiben physikalische massive Teilchen.

2) Poincaré-Gruppe: dies sind Darstellungen mit imaginärer Masse; sie entsprechen den irreduziblen Darstellungen der dreidimensionalen Lorentz-Gruppe.

3) Poincaré-Gruppe (Poincaré-Gruppe): die unitären irreduziblen Darstellungen sind durch Poincaré-Gruppe charakterisiert sowie im Fall Poincaré-Gruppe durch eine beliebige halbzahlige Grösse h (Helizität) bzw. im Fall Poincaré-Gruppe durch ein kontinuierliches Spektrum entsprechend den Darstellungen der dreidimensionalen euklidischen Gruppe E(2). Diese Darstellungen beschreiben physikalische masselose Teilchen.

 

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