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Fermis Lösung

Allgemeines

An einem Montagmorgen im Juli 1945 explodierte um 5 Uhr 29 in der Wüste hundert Kilometer nordwestlich von Alamogordo in New Mexico die erste Atombombe der Welt. Vierzig Sekunden später erreichte die Druckwelle das Lager, in dem eine Gruppe von Wissenschaftlern in atemlosem Staunen das historische Geschehen verfolgte. Als erster rührte sich der italienisch-amerikanische Physiker Enrico Fermi, der zugegen war, um den Abschluss eines Projektes zu beobachten, zu dessen Gelingen er wesentliche Beiträge geleistet hatte.

Bevor die Bombe explodierte, hatte Fermi ein Blatt Papier in kleine Fetzen zerissen. Als er die ersten Regungen der Druckwelle in der stillen Luft spürte, liess er die Papierschnitzel über seinem Kopf fallen. Sie flatterten in entgegengesetzter Richtung zu dem am Horizont aufquellenden Atompilz zu Boden und landeten etwa zweieinhalb Meter hinter ihm. Nach einer kurzen Rechnung mit Hilfe einer Zahlentabelle, die er schon vorher in sein Notizbuch eingetragen hatte, erklärte Fermi, die Energie der Bombe habe der von zehntausend Tonnen TNT entsprochen. Auf dem Versuchsgelände hatte man natürlich auch komplizierte Messinstrumente installiert, und die Auswertung der von ihnen ermittelten Daten zu Geschwindigkeit und Druck der Welle, eine Arbeit, die mehrere Wochen in Anspruch nahm, bestätigte Fermis rasche Schätzung.

Seine Kollegen bei dem Atombombentest waren von diesem brillanten Beispiel wissenschaftlicher Improvisation beeindruckt, aber nicht sonderlich überrascht. Enrico Fermis Genialität war in der Welt der Physiker überall bekannt. 1938 hatte er den Nobelpreis für seine Untersuchungen über die Wechselwirkungen von Neutronen mit Kernen erhalten. Vier Jahre später erzeugte er in Chicago die erste selbständige nukleare Kettenreaktion und läutete damit das Zeitalter von Atomwaffen und Kernenergie ein. Kein anderer Physiker seiner Generation, und keiner seither, war ein solch meisterhafter Experimentator und führender Theoretiker zugleich. Die Papierschnitzel und die Analyse ihres Flugs sind ein treffliches Beispiel dieser einzigartigen Vereinigung von Gaben.

Wie alle Virtuosen hatte auch Fermi seinen eigenen, unverwechselbaren Stil. Bei der Auseinandersetzung mit physikalischen Fragen kannte er kein Zögern; es kam ihm einfach nicht in den Sinn, er könnte die Lösung eines Problems nicht finden. Seine wissenschaftlichen Aufsätze und Bücher zeugen von Geringschätzung für Schnörkel und Verzierungen - und von einer Vorliebe für den direktesten Weg zu einer Lösung, der nicht der eleganteste zu sein brauchte. Wenn er an die Grenzen seiner Klugheit stiess, vollendete Fermi eine Aufgabe auf recht rohe Weise.

Um diese Verfahren zu verdeutlichen, wollen wir uns vorstellen, dass eine Physikerin das Volumen eines unregelmässigen Körpers bestimmen muss - beispielsweise der leicht birnenförmigen Erde. Es stehen ihr mehrere Möglichkeiten offen, eine passende Formel zu finden. Sie könnte einen Mathematiker zu Rate ziehen, obwohl es normalerweise schwierig ist, einen zu finden, der das nötige Wissen und Interesse besitzt. Sie könnte auch die mathematische Fachliteratur durchstöbern - eine zeitraubende und wohl zum Scheitern verurteilte Tätigkeit, weil die von den Mathematikern zumeist bevorzugten idealen Körper wenig mit den unregelmässigen Formen zu tun haben, die in der Natur vorkommen. Schliesslich könnte unsere Physikerin ihre Forschungsarbeiten beiseite legen, um die gesuchte Formel aus mathematischen Grundprinzipien abzuleiten. Doch wenn sie den Wunsch verspürt hätte, ihre Zeit der theoretischen Geometrie zu widmen, hätte sie wohl kaum Physik als Hauptfach gewählt.

Statt dessen könnte sie aber auch tun, was Fermi getan hätte: das Volumen numerisch berechnen. Statt sich auf eine Formel zu verlassen, würde sie den Planeten in Gedanken in eine grosse Zahl winziger Würfel zerlegen und dann deren Volumen aufaddieren. Zwar liefert diese Methode nur einen Näherungswert, ist aber ein sicherer Weg zum gewünschten Ergebnis, und darauf kam es Fermi an. Als nach dem Zweiten Weltkrieg die Computer und später die Taschenrechner aufkamen, wurde die numerische Lösung in der Physik zu einem Standardverfahren.

Die Technik, schwierige Problem in kleine, lösbare Schritte aufzuteilen, lässt sich nicht nur auf Situationen anwenden, die numerischer Berechnung zugänglich sind, sondern auch auf viele andere Aufgaben. Fermi war ein Meister dieses Näherungsverfahrens, und um es seinen Studenten zu vermitteln, entwickelte er eine Art der Fragestellung, die heute mit seinem Namen verknüpft ist. Ein Fermi-Problem hat ein charakteristisches Profil: Hört man es zum ersten Mal, hat man nicht die geringste Ahnung, wie die Antwort aussehen könnte. Zudem ist man überzeugt, dass die gegebene Information nicht ausreicht, um eine Lösung zu finden. Wenn man dann aber das Problem in Unterprobleme zerlegt, lässt sich jedes ohne Hilfe von Fachleuten oder Nachschlagewerken lösen. Im Kopf oder auf der Rückseite eines Briefumschlags kann man so einen Schätzwert errechnen, der der exakten Lösung erstaunlich nahekommt.

Nehmen wir beispielsweise an, wir möchten den Erdumfang bestimmen, ohne ihn nachzuschlagen. Die Entfernung zwischen New York und Los Angeles beträgt etwa fünftausend Kilometer, und der Zeitunterschied zwischen beiden Küsten ist drei Stunden. Nun entsprechen drei Stunden einem achtel Tag, und folglich muss sich der Erdumfang auf acht mal fünftausend, also vierzigtausend Kilometer belaufen -- eine Antwort die dem mittleren Erdumfang von 40 024 km geradezu lächerlich nahe kommt. Das lässt an John Milton denken: So leicht ist, einmal entdeckt, was einst, da unentdeckt, unmöglich schien.

Fermi-Probleme scheinen den Denksportaufgaben zu ähneln, die auf den hinteren Seiten von Wochenendbeilagen und anderen populären Magazinen erscheinen (Wie können Sie einen Liter abmessen, wenn Sie drei Gefässe haben, in die jeweils acht, fünf, und drei Liter hineinpassen?), doch die beiden Gattungen unterscheiden sich deutlich voneinander. Im Gegensatz zu Denksportaufgaben kann ein Fermi-Problem nie durch logische Schlussfolgerungen allein gelöst werden und liefert immer nur einen Näherungswert. (Um den Erdumfang genau zu bestimmen, muss man ihn tatsächlich messen.) Ferner ist zur Lösung eines Fermi-Problems ein gewisses Faktenwissen erforderlich, das in der Aufgabenstellung nicht erwähnt ist. (Dagegen enthält das Umfüllrätsel alle Angaben, die zu seiner Lösung nötig sind.)

Diese Unterschiede bedeuten, dass Fermi-Probleme enger mit der Physik zusammenhängen als Denksportaufgaben, die eher in das Gebiet der reinen Mathematik gehören. Ebenso erinnern Fermi-Probleme an die ganz gewöhnlichen Schwierigkeiten, mit denen sich auch Nichtphysiker im täglichen Leben herumschlagen müssen. So sind dieser Problemtyp und seine Lösungsweise nicht nur für die physikalische Praxis von Belang, sondern geben uns auch wertvolle Einblicke in Lebenskunst.

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago? Die seltsame Natur dieser Frage, die geringe Wahrscheinlichkeit, dass jemand die Antwort kennt, und der Umstand, dass Fermi sie seinen Studenten an der University of Chicago gestellt hat - all das hat ihr einen legendären Ruf eingetragen. Es gibt keine Standardlösung (genau darum geht es ja), doch jeder kann Annahmen machen, die schnell zu einer ungefähren Antwort führen. Hier ist eine Möglichkeit: Wenn Chicago vier Millionen Einwohner hat, ein Durchschnittshaushalt aus vier Personen besteht, und jeder fünfte Haushalt ein Klavier besitzt, dann gibt es zweihunderttausend Klaviere in der Stadt. Wenn jedes Klavier alle vier Jahre gestimmt wird, müssen jährlich fünfzigtausend Klaviere gestimmt werden. Wenn ein Stimmer vier Klaviere pro Tag schafft, sind das bei zweihundertfünfzig Arbeitstagen tausend Klaviere pro Jahr pro Stimmer. Folglich gibt es in Chicago ungefähr fünfzig Klavierstimmer. Die Antwort ist nicht genau, sie kann auch fünfundzwanzig oder hundert lauten, aber wie die gelben Seiten des Chicagoer Telefonbuches bezeugen, liegen wir mit Sicherheit im richtigen Bereich.

Fermi wollte damit zeigen, dass man von verschiedenen Voraussetzungen ausgehen und dennoch zu Schätzungen gelangen kann, die dem richtigen Wert nahe kommen, selbst wenn man anfangs noch nicht einmal eine Ahnung von der Grössenordnung der Antwort besass. In jeder Folge von Berechnungen haben Fehler nämlich die Tendenz, einander aufzuheben. Wenn man beispielsweise annimmt, das jeder zehnte, nicht jeder fünfte, Haushalt ein Klavier besitzt, könnte man möglicherweise auch annehmen, das ein Klavier zweimal statt einmal in vier Jahren gestimmt werden muss. Es ist genauso unwahrscheinlich, dass alle Fehler auf eine Unterschätzung (Überschätzung) führen, wie es unwahrscheinlich ist, dass man beim Werfen einer Münze stets Kopf (oder stets Zahl) erhält. Nach den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung neigen die Abweichungen von den korrekten Abschätzungen dazu, sich gegenseitig aufzuheben, so dass sich das Endergebnis der richtigen Zahl annähert.

Sicherlich geht es bei Fermi-Problemen, mit denen Physiker zu tun haben, eher um Atome und Moleküle als um Klaviere. Um sie zu beantworten, muss man sich einige Fundamentalgrössen einprägen, etwa den typischen Durchmesser eines Atoms oder die Anzahl von Molekülen in einem Fingerhut voll Wasser. Mit solchen Fakten ausgrüstet, lässt sich beispielsweise schätzen, welche Entfernung ein Auto zurücklegen muss, bis das Reifenprofil eine Gummischicht von ungefähr der Dicke eines Moleküls verliert. Eine einfache Rechnung, ausgehend von der Distanz, die ein Auto fährt, bevor ein Zentimeter Reifen abgenutzt wird, und die typischen Grössen eines Rades und eines Moleküls benutzend, zeigt, dass eine Molekülschicht bei jeder Umdrehung des Rades abgetragen wird, was uns vor Augen führt, wir ungeheuer gross die Zahl der Atome in einem Reifen ist.

Aktuellere Fermi-Probleme können von Energiepolitik (Wie viele Dächer müssen mit Solarzellen bedeckt werden, um ein Grosskraftwerk zu ersetzen?), Militärtechnik (Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann ein Laserstrahl ein Fernlenkgeschoss entzünden?) oder Umweltschutz handeln. Das dringende Problem der globalen Erwärmung bildet den Rahmen für ein Beispiel. Unser Planet, der sich schon seit etwa fünf Milliarden Jahren im Licht der Sonne badet, ist jetzt mit ihren Strahlen im thermischen Gleichgewicht. Die Erde absorbiert sichtbares Sonnenlicht, wandelt es in Wärme um, die ihre meteorologischen, ozeanographischen und biologischen Kreisläufe ernährt, und liefert dann genau dieselbe Menge Energie als Wärmestrahlung in den Weltraum wieder ab. Die Erde ähnelt einem Brunnen, der von einer entfernten Quelle mit einem Liter Wasser pro Sekunde gespeist wird, sein fröhliches Spiel spielt, und einen Liter pro Sekunde in den Abwasserkanal pumpt.

Aber mit dieser Analogie stimmt etwas nicht. Anhand der Strahlungsgesetze kann man sich leicht die Temperatur ausrechnen, die eine Kugel wie die Erde im thermischen Gleichgewicht mit der Sonnenstrahlung haben muss. Das Resultat ist etwa 250 Kelvin, oder 23 Grad Celsius unter null. Das ist auch tatsächlich die Temperatur der obersten Schicht der Atmosphäre, wo die gasförmige Hülle der Erde das Weltall berührt. Aber glücklicherweise für uns ist die mittlere Temperatur am Meeresspiegel 33 Grad wärmer. Woher kommt dieser riesige, lebensnotwendige Temperaturunterschied?

Die Antwort findet man bei den Gasen, die den sogenannten Treibhauseffekt bewirken. Diese bestehen hauptsächlich aus H2O und CO2 und absorbieren die Wärme, die von der Erdoberfläche aufsteigt, um sie dann wieder in alle Richtungen gleichmässig auszustrahlen. Aber was hilft das? Ist das nicht einfach eine innerliche Neuverteilung der Wärme für den Energiehaushalt der Erde, genausowenig ausschlaggebend wie das Plätschern des Wassers für den Wasserhaushalt des Brunnens? Ein Fermi-Problem hilft diese Frage zu beantworten.

Man nehme an, dass zwischen dem Brunnen und dem Abwasserkanal ein Fass eingebaut wird, aus dem, analog der isotropen Wärmestrahlung von atmosphärischen Gasen, das Wasser gleichmässig in zwei Richtungen ausfliesst - die eine Hälfte in den Kanal und die andere zurück zum Brunnen. Der Brunnen bekommt also zwei Liter Wasser pro Sekunde, einen von der Quelle und den anderen vom Fass. Um im Gleichgewicht zu bleiben, pumpt er auch zwei Liter pro Sekunde in das Fass. Das Resultat ist, dass der Brunnen jetzt doppelt so viel Wasser verbraucht wie vorher, ohne dass sich der Nettofluss von der Quelle in den Abwasserkanal geändert hätte.

Auf diese Weise verdoppelt die Atmosphäre die Energie, die pro Sekunde auf die Erdoberfläche einstrahlt, verglichen mit der Energie, die von der Sonne kommt. Wenn dieser Effekt eine Verdopplung der Temperatur am Meeresspiegel verursachen würde, also von 250 auf 500 Kelvin, würden wir verbrennen statt zu erfrieren. Aber er tut es glücklicherweise nicht. Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz wächst die Temperatur nur mit der vierten Wurzel der Wärmestrahlung - in diesem Falle der vierten Wurzel aus zwei, oder dem Faktor 1,2. Der Treibhauseffekt ist also letzten Endes eine Zunahme der Temperatur um 20% über ihren Originalwert von 250 Kelvin, also um 50 Grad Celsius. Diese Abschätzung liegt zwar ziemlich weit vom wirklichen Wert von 33 Grad, ist aber angesichts der Einfachheit des Modells doch bemerkenswert gut.

Bei diesem Fermi-Problem hängt die Lösung von mehr Fakten ab, als Durchschnittsmenschen, auch Durchschnittsphysiker, aus dem Ärmel schütteln können. Doch wer die nötigen Daten parat hat, braucht für die Rechnung nur ein paar Minuten und gelangt zu einem Ergebnis, das zur weiteren Forschung ermutigt. Komplizierte atmosphärische Modelle mit unzähligen Einzelheiten, die im Brunnenmodell vernachlässigt wurden, bestätigen die Richtigkeit des Prinzips und warnen vor den Folgen der bekannten Zunahme von Treibhausgasen wie CO2 in der Luft.

Das Beispiel veranschaulicht einen bewährten Grundsatz vorsichtiger Physiker: Fange nie eine langwierige Rechnung an, ohne den Grössenbereich der Werte zu kennen, in dem das Resultat wahrscheinlich liegt. Diejenigen, die Umwege und Sackgassen vermeiden wollen, gehen jedes Problem als Fermi-Problem an, das heisst, sie überschlagen die Grössenordnung des Ergebnisses, bevor sie sich auf eine Untersuchung einlassen.

Physiker benutzen Fermi-Probleme auch, um sich miteinander zu unterhalten. Wenn sie sich im Korridor eines Universitätsgebäudes, dem Foyer eines Kogresszentrums oder in einem gemütlichen Restaurant treffen, um ein neues Experiment oder eine neue Theorie zu erörtern, beginnen sie gewöhnlich damit, das zur Diskussion stehende Problem numerisch einzugrenzen. Nur wer ängstlich ist, zaudert und überlässt das Problem den anwesenden Experten. Diejenigen, die daran gewöhnt sind, mit Fermi-Problemen umzugehen, gehen die Frage an, als gehöre sie in ihr eigenes Fachgebiet, und zeigen durch Überschlagsrechnungen, dass sie verstanden haben, worum es geht. Wenn sich das Gespräch beispielsweise einem neuen Teilchenbeschleuniger zuwendet, schätzen sie, wie stark seine Magneten sein müssen. Geht es um die Struktur eines neuen Kristalls, so berechnen sie den Abstand zwischen den Atomen. Jeder versucht, die Antwort mit möglichst geringem Aufwand zu finden. Diese geistige Unabhängigkeit versuchte Fermi, der sie selbst in hohem Masse besass, bei seinen Studenten zu wecken, indem er ihnen seine unkonventionellen Aufgaben stellte.

Die Probleme der Wissenschaft - oder des Alltags - in der Weise anzugehen, wie es Fermi tat, hat seinen Wert letzlich in den unabhängigen Entdeckungen und Erfindungen, auf die man stösst. Dabei spielt es keine Rolle, ob es sich um etwas so Bedeutendes wie die Bestimmung der Sprengkraft einer Atombombe oder etwas so Unbedeutendes wie die Abschätzung der Anzahl der Klavierstimmer in Chicago handelt. Wenn wir die Antwort nachschlagen oder uns von jemand anders holen, so erweisen wir uns damit einen schlechten Dienst; wir berauben uns der Freude und des Stolzes, die uns jede kreative Leistung schenkt.

 

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