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Gausssche Ensembles

Nichtlineare Dynamik, Chaos, Fraktale, Gesamtheiten von Zufallsmatrizen (Zufallsmatrizen-Theorie). Die wichtigsten sind das Gausssche orthogonale Ensemble (GOE), das Gausssche unitäre Ensemble (GUE), sowie das Gausssche symplektische Ensemble (GSE). Die Theorie der Zufallsmatrizen wurde ab Mitte der 50er Jahre vor allem von E.P. Wigner vorangetrieben, um die statistischen Eigenschaften der komplexen Energieniveau-Struktur von schweren Kernen zu erklären. Seit etwa 1980 fand diese Theorie im Zusammenhang mit Fragen des Quantenchaos erneutes Interesse, da klassisch chaotische Quantensysteme die einfachsten Systeme bereitstellen, die den Gesetzmässigkeiten der Theorie der Zufallsmatrizen gehorchen. Die grundlegende Idee besteht darin, die Matrixelemente des Hamilton-Operators (Matrix H) als gaussverteilte Zufallszahlen anzunehmen und dabei nur den raum-zeitlichen Symmetrieeigenschaften des Problems Rechnung zu tragen. Das einfachste Ensemble, das GOE, besteht aus reellen, symmetrischen N ´ N-Matrizen und ist dadurch definiert, dass die Gesamtheit unter beliebigen orthogonalen Transformationen H¢ = OTHO mit einer orthogonalen Matrix O invariant bleibt. Dies bedeutet, dass für die Wahrscheinlichkeit P(H)dH, eine Matrix im Volumenelement  zu finden, gilt, dass P(H)dH = P(H¢)dH¢. Zusätzlich verlangt man, dass die Matrixelemente unabhängige Zufallsvariable sind. Daraus folgt, dass die Matrixelemente Hij gaussverteilt sind mit Mittelwert null  und Varianz . Von Interesse sind statistische Eigenschaften der Energieniveaus, also der Eigenwerte von H, wie z.B. die gemittelte Energieniveau-Dichte . r(E)dE ist die Anzahl der Niveaus im Intervall [E, E + dE], wobei òr(E)dE = N gilt. Für das GOE und für grosse N findet man das Wignersche Halbkreis-Gesetz, welches besagt, dass  nur für E2 < 4Ns2 von null verschieden ist mit .

Eine weitere wichtige Grösse, die die Fluktuationen in den Energieniveaus erfasst, ist die Abstandsverteilung der Niveaus p(s). p(s)ds ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dem Ensemble (oder auch in einer genügend grossen Matrix H) zwei benachbarte Niveaus einen Abstand im Intervall [s, s + ds] haben. Für das GOE erhält man für N = 2 als exaktes Resultat die sog. Wigner-Verteilung (auch Wignersche Vermutung)  mit dem mittleren Niveau-Abstand D. Das entsprechende Resultat für grosse N kann nicht in einfacher Form geschrieben werden, doch ist die Wigner-Verteilung auch für diese Fälle eine sehr gute Approximation. Von Interesse ist insbesondere der lineare Anstieg für kleine Abstände s, der auch für N Gausssche Ensembles ¥ korrekt ist. Er bedeutet, dass sich die Energieniveaus abstossen. Dieses Verhalten wurde experimentell in Atomkernspektren, aber auch in klassisch stark chaotischen Quantensystemen, wie dem quantisierten Bunimowitsch-Stadion oder dem Sinai-Billard gefunden (Quantenchaos).

Die Beschränkung auf reelle symmetrische Matrizen im GOE ist durch Rotations- und Zeitumkehrinvarianz begründet. Wird letztere gebrochen (mit oder ohne Rotationsinvarianz), beispielsweise durch ein äusseres Magnetfeld, so muss man Ensembles hermitescher, also komplexer Matrizen betrachten, die unter unitären Transformationen invariant sind. Die Annahme statistisch unabhängiger Matrixelemente führt in diesem Fall auf das Gausssche unitäre Ensemble (GUE). Für zeitumkehrinvariante Systeme mit halbzahligem Spin, die nicht rotationsinvariant sind, ist das Gausssche symplektische Ensemble (GSE) massgeblich, bei dem die die Hamilton-Matrix hermitesch ist, aber aus Quaternionen aufgebaut ist. Diese Matrixstruktur ist unter unitären symplektischen Transformationen invariant. Für GUE und GSE findet man ebenfalls Niveau-Abstossung, wobei p(s) sich für kleine s wie sb verhält, mit b = 2 für das GUE und b = 4 für das GSE. Die exakte Abstandsverteilung p(s) ist für die drei Gaussschen Ensembles für N = 2 in der Abbildung dargestellt. Die Niveaudichte hat in allen Fällen die Halbkreisform, mit der Ersetzung s2 Gausssche Ensembles s2b. [GR2]

Gausssche Ensembles

Gausssche Ensembles: Die Niveau-Abstandsverteilung für die Gaussschen Ensembles GOE (b = 1), GUE (b = 2) und GSE (b = 4).

 

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