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numerische Integration

Mathematische Methoden und Computereinsatz, die Aufgabe, Integrale oder die Lösung von Differentialgleichungssystemen numerisch zu berechnen. Das Gebiet der numerischen Integration gehört zu den wichtigsten der numerischen Mathematik und den angewandten Wissenschaften. Die verwendeten Verfahren, von denen viele in Programmbibliotheken oder numerischer Software enthalten sind, für die verschiedenen Integrationsprobleme (ein- und mehrdimensionale Integrale, gewöhnliche, differentiell-algebraische oder partielle Differentialgleichungen) unterscheiden sich erheblich in ihrer Methodik und Konzeption.

1a) Der einfachste Fall ist die Auswertung des Integrals numerische Integration für eine auf dem Intervall numerische Integration stetige und reellwertige Funktion numerische Integration. Dabei wird numerische Integration durch die Quadraturformel

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mit geeigneten Stützstellen numerische Integration und von numerische Integration unabhängigen Gewichten numerische Integration approximiert, wobei man zu vorgegebenem Fehler numerische Integration die Approximation numerische Integration, d.h. ein Konstruktionsverfahren zur Bestimmung von numerische Integration und numerische Integration so bestimmen möchte, dass für eine möglichst grosse Klasse von stetigen Funktionen numerische Integration erfüllt ist. Hierzu bieten sich interpolierende Quadraturformeln an, die numerische Integration durch Interpolation von numerische Integration durch Grundfunktionen numerische Integration einer bestimmten Funktionenklasse numerische Integration (z.B. Polynome) berechnen und auf numerische Integration exakt sind, d.h. für alle numerische Integration gilt numerische Integration. Die Newton-Cotes Formeln sind ein Beispiel für eine interpolierende Quadraturformel, die auf einem System äquidistanter Stützstellen aufbaut. Basiert eine interpolierende Quadraturformel auf einer Schrittweitenfolge numerische Integration, die gegen Null konvergiert (Beispiel: sukzessive Intervallhalbierung numerische Integration mit numerische Integration), so kann unter bestimmten Voraussetzungen die Folge numerische Integration extrapoliert, d.h. konvergenzbeschleunigt werden. Ein Beispiel hierfür ist das Romberg-Verfahren, das aus einer Extrapolation der  Trapezregel mit Hilfe des Neville-Algorithmus hervorgeht. Für Funktionen, die in einigen Bereichen des Intervalls numerische Integration eine starke, in anderen jedoch nur wenig Krümmung aufweisen, bieten sich adaptive Verfahren an, die automatisch die Stützstellen im Integrationsintervall so wählen, dass der Integrationsfehler klein wird und sich somit dem Integranden anpassen.

Ein weiteres Verfahren, nämlich das Gausssche Integrationsverfahren, (Gauss-Quadratur) erhält man durch die Betrachtung der Integrale numerische Integration, wobei numerische Integration eine auf numerische Integration positive und stetige Funktion ist und numerische Integration wieder durch numerische Integration approximiert werden soll. Allerdings wird nun auf die äquidistante Verteilung der Stützstellen numerische Integration verzichtet, und sowohl die Gewichte numerische Integration als auch numerische Integration dürfen frei gewählt werden, wobei eine exakte Integration von Polynomen bis zum Grade numerische Integration erzielt wird, wenn man die Stützstellen numerische Integration als Nullstellen der mit Hilfe des Skalarproduktes

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und z.B. des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens erzeugten orthogonalen Polynome numerische Integration wählt. Die Gewichte numerische Integration berechnen sich aus der Vorschrift

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wobei numerische Integration die Nullstellen des numerische Integration-ten Orthogonalpolynoms bezeichnet (es lässt sich zeigen, dass diese Nullstellen sämtlich reell, einfach und in numerische Integration gelegen sind) und numerische Integration das Lagrangesche Fundamentalpolynom zu den numerische Integration als Stützstellen ist. In praktischen Anwendungen werden je nach Intervall numerische Integration und Gewichtsfunktionen numerische Integration die Legendre- (numerische Integration), Tschebyschew- (numerische Integration), Laguerre- (numerische Integration) oder Hermite-Polynome numerische Integration verwendet (siehe Tabelle).

Bei festem numerische Integration und gleichem Rechenaufwand ist die Gauss-Integration genauer als die interpolierenden Quadraturformeln. Allerdings verliert man beim Übergang von numerische Integration nach numerische Integration sämtliche bereits ausgewerteten Funktionswerte; an dieser Stelle erweisen sich Extrapolationsverfahren als vorteilhafter.

Manchmal kann es auch nützlich sein, wenn ein leistungsstarker Integrator für gewöhnliche Differentialgleichungen verfügbar ist, das Integral numerische Integration mit Hilfe der Differentialgleichung

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und der Anfangsbedingung numerische Integration und numerische Integration zu berechnen. Schliesslich seien noch Monte-Carlo-Methoden als Integrationsverfahren erwähnt.

1b) Mehrdimensionale Integrale

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wird man, insbesondere wenn einfache Integrationsgrenzen oder Randdarstellungen dies zulassen, versuchen, auf eindimensionale Integrale zurückzuführen, um dann die oben erwähnten Verfahren anzuwenden. Gelingt dies nicht, so wird man eine zu eindimensionalen Integralen analoge Darstellung

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mit geeigneten Gewichten numerische Integration und Stützstellen numerische Integration wählen; ist insbesondere der Rand eine schwierige Funktion, so kommen Monte-Carlo-Methoden zum Einsatz.

1c) Die Auswertung von Integralen numerische Integration auf endlichen Intervallen, bei denen numerische Integration oszillatorisches Verhalten zeigt - derartige Integrale treten im Zusammenhang mit Fourier-Reihen auf - erfolgt mit Hilfe von Tschebyschew-Interpolationspolynomen, Tschebyschew-Entwicklungen und der Verwendung von Bessel-Funktionen.

1d) Die numerische Integration experimentieller Daten, die möglicherweise noch irregulär verteilt sind, führt man am besten durch, in dem man die Messdaten mit Hilfe von spline-Funktionen interpoliert und diese dann integriert.

2a) Numerische Methoden zur Integration gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme, die als Anfangswertprobleme

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vorliegen, lassen sich in vier Klassen unterteilen: Einschrittverfahren (Beispiel: Runge-Kutta-Methoden), Mehrschrittverfahren (Beispiele: Adams-Bashforth-Verfahren, Adams-Moulton-Verfahren), Prädiktor-Korrektor-Methoden und Extrapolationsverfahren (Bulirsch-Stoer-Verfahren). Das Polygonzug-Verfahren von Euler (Euler-Cauchy-Verfahren), hergeleitet aus der Taylor-Reihenentwicklung

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zeigt die Idee eines expliziten Einschrittverfahrens numerische Integration: das Verfahren ist rekursiv und ein weiterer Wert numerische Integration lässt sich allein aus seinem Vorgänger numerische Integration (und natürlich numerische Integration, numerische Integration und numerische Integration) berechnen. Würde numerische Integration auch von numerische Integration abhängen, so läge ein implizites Einschrittverfahren vor. Ein allgemeines numerische Integration-Schrittverfahren lässt sich mit numerische Integration dagegen in der Form

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schreiben; zu beachten ist, dass ein numerische IntegrationSchrittverfahren mit numerische Integration Startwerten initialisiert werden muss, die man z.B. mit Hilfe eines Einschrittverfahrens berechnen kann.

2b) Numerische Methoden zur Integration impliziter Differentialgleichungen numerische Integration oder differential-algebraischer Systeme

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mit konsistenten Anfangsbedingungen numerische Integration und numerische Integration lassen sich durch den Index charakterisieren und als Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten interpretieren; dies erlaubt eine Kombination von Integrationsverfahren gewöhnlicher Differentialgleichungen und nichtlinearen Gleichungslösern mit Homotopietechniken. Das Problem (*) hat Index 1, wenn die Matrix numerische Integration regulär ist. Derartige Probleme treten in der chemischen Verfahrenstechnik oder Elektrotechnik auf; in der Mehrkörpermechanik und Robotik liegt meist ein Index-3-Problem vor. Die algebraische Gleichung numerische Integration wird mit Hilfe des im Grenzwert gegen 0 strebenden Homotopieparameters numerische Integration in die Differentialgleichung

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eingebettet.

2c) Numerische Methoden zur Integration gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme, die als Randwertprobleme

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mit numerische Integration auf einem Intervall numerische Integration vorliegen, lassen sich in vier Klassen unterteilen: Einschiessverfahren, Mehrzielmethode, Differenzenverfahren und Variationsverfahren (Ritz-Galerkin-Verfahren). Liegen die Randwertbedingungen bei einem Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung numerische Integration in Form zweier separierter, expliziter Randbedingungen vor, z.B. numerische Integration und numerische Integration, so besteht das intuitiv einleuchtende, aber, je nach Problem, numerisch nicht sehr stabile Einschiessverfahren darin, von numerische Integration ausgehend ein Anfangswertproblem zu lösen, wobei die unbekannte Anfangssteigung numerische Integration dazu verwendet wird, auf die Bedingung numerische Integration zu zielen und diese, z.B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens zu erfüllen. Allgemeiner ist der Fall, dass für die beiden Intervallgrenzen jeweils einige, aber weniger als numerische Integration Bedingungen zu erfüllen sind. Diesen Fall trifft man z.B. bei den den Sternaufbau beschreibenden Differentialgleichungen, deren unabhängige Variable numerische Integration die Masse numerische Integration ist, an; einige Grössen, z.B. die Temperatur, sind an der Sternoberfläche bekannt, andere, wie Radius und Leuchtkraft, im Zentrum (numerische Integration) des Sterns, wo sie den Wert 0 annehmen. In der Mehrzielmethode verwendet man ein an das Problem angepasstes Gitter numerische Integration von numerische Integration Stützstellen numerische Integration (numerische Integration Teilintervalle numerische Integration),

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welches das Intervall numerische Integration überdeckt und die Punkte numerische Integration enthält, und die diskrete Trajektorie numerische Integration wird als Variable eingeführt; die numerische Integration sind dabei die Anfangswerte der Teiltrajektorien. Integriert wird dabei jeweils von numerische Integration bis numerische Integration. Zu einer gegebenen Schätzung des Variablenvektors numerische Integration berechnet man die Lösungen numerische Integration der numerische Integration unabhängigen Anfangswertprobleme auf jedem Teilintervall numerische Integration und erhält so eine (zunächst unstetige) Parameterisierung von numerische Integration. Durch die zusätzlichen Anschlussbedingungen numerische Integration wird die Stetigkeit der Lösung gesichert. Zusammen mit den ursprünglichen Randbedingungen numerische Integration liegt damit ein nichtlineares Gleichungssystem in den Variablen numerische Integration vor, das in den meisten Fällen mit Hilfe des Newton-Verfahrens gelöst wird; problematisch kann dabei die Startinitialisierung von numerische Integration sein. In obigem Beispiel mit zwei Randwertbedingungen könnte z.B. die Verbindungsgerade von numerische Integration nach numerische Integration zur Initialisierung von numerische Integration verwendet werden. Das Mehrzielverfahren lässt sich gut mit der Methode der kleinsten Quadrate kombinieren, wenn die zu schätzenden Parameter in einem Differentialgleichungsmodell auftreten.

3a) Numerische Methoden zur Integration partieller Differentialgleichungssysteme hängen sehr vom Typ des Systems ab. Insbesondere unterscheiden sich diese Methoden hinsichtlich der Diskretisierung, die das Differentialgleichungssystem in ein endliches System algebraischer Gleichungen überführt. Randwertprobleme führen auf elliptische Systeme; hier eignen sich die Finite-Elemente-Methode (FEM; die Lösung wird durch endliche Linearkombinationen bekannter Basisfunktionen gewonnen) oder das Finite-Differenzen-Verfahren (FDV; der Integrationsbereich wird durch ein endliches Gitter ersetzt und Ableitungen werden durch Differenzen ersetzt). Zeitabhängige Probleme, die stets neben möglichen (geometrischen Randbedingungen) Anfangswertbedingungen enthalten und zeitlich instationäre Probleme beschreiben, führen auf parabolische oder hyperbolische Systeme; hier sind die erwähnten Verfahren nur bedingt verwendbar; insbesondere sind explizite FDV (der gegenwärtige Zeitschritt hängt nur von früheren ab) nur bedingt stabil, während implizite FDV (das Differenzenschema kann nicht explizit hinsichtlich des gegenwärtigen Zeitsschritts aufgelöst werden) unbedingt stabil sind. Parabolische partielle Differentialgleichungssysteme lassen sich mit Hilfe der Methode der Linien (MdL) auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückführen. Dies entspricht einer Finite-Differenzen- oder Finite-Elemente-Diskretisierung im räumlichen Bereich. Die MdL wird besonders häufig verwendet bei zeitabhängigen partiellen Differentialgleichungsmodellen mit nur einer räumlichen Variablen und führt auf ein gekoppeltes System von numerische Integration gewöhnlichen Differentialgleichungen, wenn numerische Integration die Anzahl der Diskretisierungspunkte bezeichnet. Beispiel: Die Diffusionsgleichung

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mit Diffusionskoeffizienten numerische Integration erlaubt die räumliche Diskretisierung nach numerische Integration

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Approximiert man die räumliche Ableitung numerische Integration durch ihre finiten Differenzen

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so kann die Diffusionsgleichung durch die numerische Integration gewöhnlichen Differentialgleichungen

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ersetzt werden. Hyperbolische Differentialgleichungen leiten sich meist aus strömungsmechanischen Problemen ab (Euler-Gleichungen, Navier-Stokes-Gleichungen), die aus first-principles abgeleitete Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie darstellen; sie treten häufig in der Gasdynamik, im Flugzeugbau oder bei re-entry Problemen von Raumfahrzeugen auf, führen auf Unterschall- und Überschallproblematik, die sich in Form von Unstetigkeiten (Schocks, Kontaktdiskontinuitäten) in den Lösungen bemerkbar macht. Hier eignen sich besonders Finite-Volumen-Verfahren, die bei ihrer Diskretisierung darauf achten, dass die Erhaltungssätze strikt erfüllt sind (Beispiel: Godunow-Verfahren mit exaktem Riemann-Löser) und somit in der Lage sind, die Unstetigkeiten mit guter Genauigkeit wiederzugeben. Insbesondere bei der numerischen Integration mehrdimensionaler partieller Differentialgleichungssysteme kommen adaptive Verfahren und Multigrid-Methoden zum Einsatz; bei beiden Verfahren wird die Diskretisierung und insbesondere die räumliche Gittergrösse dem lokalen Verhalten des Systems angepasst.

numerische Integration: Intervalle, Gewichte und Polynome beim Gaussschen Integrationsverfahren.

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Polynom

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